بررسی مدول های کوهمولوژی موضعی تعریف شده توسط جفت ایده آلها و زیررسته های سر

فرض کنیم ‎$rhspace{1mm}$‎ حلقه ای جابجایی، یکدار، نوتری و ‎$i$‎ و ‎$j$‎ ایده آل هایی از آن باشند. هم چنین فرض کنیم ‎$m$‎ یک ‎$r$-‎مدول و ‎$t$‎ عدد صحیح نامنفی باشد. ابتدا ثابت کرده ایم که اگر ‎$mathrm{ext}^t_r(r/i,m)$‎ یک ‎$r$-‎مدول متناهی و ‎${h}^t_i(m)$‎ یک ‎$r$-‎مدول مینی ماکس و برای هر ‎$i<t$‎، ‎${h}^i_i(m)$‎ مدول های ‎$i$-‎هم متناهی باشند، آنگاه ‎${h}^t_i(m)$‎ یک ‎$r$-‎مدول ‎$i$-‎هم متناهی است. به عنوان نتیجه ای از آن نشان داده ایم که اگر ‎$m$‎ و ‎$n$‎ دو ‎$r$-‎مدول متناهی باشند به طوری که برای هر ‎$i<t$‎، ‎${h}_i^i(n)$‎ مینی ماکس باشد، آنگاه ‎$mathrm{ass}ig({h}^t_i(m,n)ig)$‎ مجموعه ای متناهی است. اگر ‎$mathcal{s}$‎ یک زیر رسته ی سر، ‎$mathfrak{a}in ilde{w}(i,j)={mathfrak{a} rianglelefteq rvert~exists ninmathbb{n}_0;i^nsubseteq j+mathfrak{a}}$‎ و ‎$tinmathbb{n}_0$‎ چنان باشند به طوری که ‎$mathrm{ext}^t_r(r/mathfrak{a},m)in mathcal{s}$‎ و برای هر ‎$0leq j$‎ و هر ‎$i<t$‎ داشته باشیم ‎$mathrm{ext}^j_rig(r/mathfrak{a},{h}^i_{i,j}(m)ig)inmathcal{s}$‎، آنگاه برای هر زیر مدول ‎$n$‎ از ‎${h}^t_{i,j}(m)$‎ با شرط ‎$mathrm{ext}^1_rig(r/mathfrak{a},nig)in mathcal{s}$‎، ثابت کرده ایم که ‎$r$-‎مدول ‎‎ ‎$mathrm{hom}_rig(r/mathfrak{a},{h}^t_{i,j}(m)/nig)$‎ نیز به ‎$mathcal{s}$‎ تعلق دارد. هم چنین زیر رسته ی ‎$mathcal{c}(mathcal{s},i,j)$‎ از رسته ی ‎$r$-‎مدول ها را معرفی کرده و ثابت کرده ایم اگر برای هر ‎$0leq i$‎، ‎$mathrm{ext}^i_r(r/i,m)inmathcal{s}$‎ و برای هر ‎$i<t$‎، ‎${h}^i_{i,j}(m)in mathcal{c}(mathcal{s},i,j)$‎، آنگاه خواهیم داشت ‎$mathrm{hom}_rig(r/i,{h}^{t+1}_{i,j}(m)ig)inmathcal{s}$‎ اگر و فقط اگر ‎$mathrm{ext}^2_rig(r/i,{h}^t_{i,j}(m)ig)inmathcal{s}$‎. در ادامه، ارتباط بین صفر شدن مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به جفت ایده آل و مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به یک ایده آل مورد بررسی قرار گرفته و ثابت شده است اگر به ازای هر ‎$i<t$‎، ‎${h}^i_{i,j}(m)=0$‎، آنگاه برای هر ‎$i<t$‎ و هر ‎$mathfrak{a}in ilde{w}(i,j)$‎ خواهیم داشت ‎${h}^i_mathfrak{a}(m)=0$‎. از این رو برای هر ‎$mathfrak{a}in ilde{w}(i,j)$‎ نتیجه می شود ‎$mathrm{grade}(i,j,m)leq mathrm{grade}(mathfrak{a},m)$‎ و تساوی زمانی برقرار خواهد بود که ‎$mathrm{ext}_r^t(r/mathfrak{a},m) eq 0$‎. علاوه بر آن ثابت شده است که اگر ایده آل ‎$mathfrak{a}$‎ توسط یک ‎$m$-‎رشته ‎$k$-‎منظم به طول ‎$n$‎ تولید شود و شرط ‎$$big(ig(mathrm{supp}(m)cap w(mathfrak{a},j)ig)igackslash w(i,j)big)_{leq k}=emptyset$$‎ برقرار باشد، آنگاه برای هر ‎$i<n$‎ خواهیم داشت ‎${h}^i_{i,j}(m)cong {h}_{mathfrak{a},j}^i(m)$.